分数階積分

とある会合に出席しました。夜の部で「分数階積分」という耳慣れない言葉を聴いて卒倒しそうに。ただでさえ微積分は苦手意識があるのに。
「ネットで検索すると結構引っかかりますよ」
いえ、検索に引っかかるからといって苦手意識とは無関係ですよ。ゴムのようにぐにょっと変形するものの解析に活躍するそうです。イマイチわかりません。
しかーし
「1.5階積分の周波数特性は-6dB/octと-12dB/octの間にある」
むむ、それは直感的に理解できますぞ。そこで、分数階積分について検索したところ、こんなページにヒットしました。

ここを参考に余弦波の積分を考えてみると、

cos(ωt)の1階積分
振幅は1/ω倍、位相はπ/2遅れ
cos(ωt)のn階積分(nは整数)
振幅は1/(ω^n)倍、位相はnπ/2遅れ
cos(ωt)のp階積分(pは実数)
振幅は1/(ω^p)倍、位相はpπ/2遅れ

と、言えそうです。ここから話を推し進めると、1.5階積分は-9dB/octの振幅特性を持ち、135度の遅れを生じるようです。

*1:高名なhiraxさんのサイトです